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伝送線路の量子論

本稿では、伝送線路の量子論（特に場の理論）的な扱いについて説明する。

参考にした文献を先に挙げておく:

伝送線路の解析力学

伝送線路（Transmission Line）。 伝送線路に沿った座標を \(x\) とし、位置 \(x\) における電圧を \(V(t, x)\)、電流を \(I(t, x)\) とする 。

回路の基本変数として「磁束」 \(\Phi(t, x)\) を導入する 。 微小空間 \(\Delta x\) のループを貫く磁束の強さは、自己インダクタンス \(l_0\) （単位長あたり）を用いて \(l_0 I(t,x)\) と表される 。 ここを回路として捉え 、

\[ l_0 I(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Phi(x+\Delta x) - \Phi(x)}{\Delta x} = \frac{\partial}{\partial x} \Phi(x) \]

また、ファラデーの電磁誘導の法則より、ループを貫く磁束の時間変化があると、その変化を打ち消すように起電力が生じるため 、

\[ V(t, x) = \frac{\partial}{\partial t} \Phi(t, x) \]

となる。

ラグランジアン密度 \(\mathcal{L}(x)\) を、（運動エネルギー）ー（位置エネルギー）の類推で次のように定義する 。

\[ \mathcal{L}(x) = \frac{1}{2} c_0 V^2 - \frac{1}{2} l_0 I^2 = \frac{c_0}{2} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)^2 - \frac{1}{2 l_0} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 \]

とおく 。

Euler-Lagrange 方程式

Lagaragian \(L(t) = \int dx \mathcal{L}(t, x)\) で定める 。 Euler-Lagrange 方程式を求めると 、

\[ \left( c_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{1}{l_0} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \right) \Phi(t, x) = 0 \]\[ \Rightarrow \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2} = \frac{1}{l_0 c_0} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} \]

これは群速度 \(1/\sqrt{l_0 c_0}\) を持つ波動方程式そのものである。

Hamilton 形式へ

解析力学に従って、いつも通りに正準運動量を求めてみると

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\Phi}(x)} = c_0 \frac{\partial \Phi}{\partial t} \equiv Q(t, x) \]

となる。伝送線路における正準運動量は電荷と解釈できる！

ハミルトニアン密度は

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} &= Q \dot{\Phi} - \mathcal{L} \\ &= \frac{1}{c_0} Q^2 - \left[ \frac{c_0}{2} \left( \frac{Q}{c_0} \right)^2 - \frac{1}{2l_0} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 \right] \\ &= \frac{Q^2}{2c_0} + \frac{1}{2l_0} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 \end{aligned} \]

となる。 これは、局所的な静電エネルギー（密度）と磁気エネルギー（密度）の和として解釈できる。 この結果から Lagrangian の選択が物理的に良いものだったことが確認できる。

正準量子化

正準変数である \(\Phi, Q\) を演算子 \(\hat{\Phi}, \hat{Q}\) に置き換える。 実スカラー場の量子化と同じように、演算子には次の同時刻交換関係を課す：

\[ [\hat\Phi(t, x), \hat Q(t, y)] = i\hbar \delta(x-y) \]

\[ [\hat \Phi(t, x), \hat \Phi(t, y)] = 0 \]

\[ [\hat Q(t, x), \hat Q(t, y)] = 0 \]

以下では、\(\hat{\Phi}\) などのハット記号は省略する。

左右進行成分の定義と分離

\(v = \frac{1}{\sqrt{l_0 c_0}}, Z_0 = \sqrt{\frac{l_0}{c_0}}\) とおいた 。

\[ \begin{aligned} \mathcal{H} &= \frac{Q^2}{2 c_2} + \frac{1}{2l_0} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right)^2 \\ &= \frac{v}{2Z_0} \left[ (Z_0 Q)^2 + (\partial_x \Phi)^2 \right] \\ &= \frac{v}{4Z_0} \left\{ (\partial_x \Phi - Z_0 Q)^2 + (\partial_x \Phi + Z_0 Q)^2 \right\} \end{aligned} \]

ここで、次のカレント演算子を定義する。

\[ J_R(t,x) = \frac{1}{\sqrt{2 Z_0}} \left[ \partial_x \Phi(t,x) - Z_0 Q(t,x) \right] \]

\[ J_L(t,x) = \frac{1}{\sqrt{2 Z_0}} \left[ \partial_x \Phi(t,x) + Z_0 Q(t,x) \right] \]

すると、ハミルトニアン密度は

\[ \mathcal{H} = \frac{v}{2} \left[ J_R(x)^2 + J_L(x)^2 \right] \]

と書かれる。 R,Lの成分が項別で独立していることは重要。

カレント演算子の性質を調べてみる。 デルタ関数の性質

\[ \delta(x-y) = \delta(y-x) \]

\[ \partial_y \delta(x-y) = -\partial_x \delta(x-y) \]

に気をつけながら、異なる成分同士の交換関係を計算してみると、

\[ \begin{aligned} [J_R(x), J_L(y)] &= \frac{1}{2} \left[ [\partial_x \Phi(x), Q(y)] - [Q(x), \partial_y \Phi(y)] \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ \partial_x \cdot i\hbar \delta(x-y) - \partial_y \cdot (-i\hbar \delta(y-x)) \right] \\ &= 0 \end{aligned} \]

のように0となる。つまり、2つのカレントは互いに独立していることがわかる。

一方で、ひとつの成分のなかでの交換関係は

\[ \begin{aligned} [J_R(x), J_R(y)] &= \frac{1}{2} \left[ [\partial_x \Phi(x), Q(y)] + [Q(x), \partial_y \Phi(y)] \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ \partial_x \cdot i\hbar \delta(x-y) + \partial_y \cdot (-i\hbar \delta(y-x)) \right] \\ &= - i \hbar \partial_x \delta(x-y) \end{aligned} \]\[ [J_L(x), J_L(y)] = i\hbar \partial_x \delta(x-y) \]

となる。

カレント演算子の運動方程式

Heisenberg 方程式を求めると

\[ \begin{aligned} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} J_R(x) &= [J_R(x), H] \\ &= \frac{v}{2} \int dy [J_R(x), J_R^2(y)] \\ &= \frac{v}{2} \int dy 2 J_R(y) \cdot (-i\hbar \partial_x \delta(x-y)) \\ &= -i\hbar v \frac{\partial}{\partial x} J_R(x) \end{aligned} \]

書き換えると

\[ \left( \frac{\partial}{\partial t} + v \frac{\partial}{\partial x} \right) J_R = 0 \]

ここで、\(J_R(t, x) = J_{0R}(x - vt)\) とおいてみると

\[ \frac{\partial}{\partial t} J_R = -v \frac{\partial J_{0R}}{\partial x}, \quad \frac{\partial}{\partial x} J_R = \frac{\partial J_{0R}}{\partial x} \]

なので、これは解になっている。

L成分についても、同様に

\[ \frac{\partial}{\partial t} - v \frac{\partial}{\partial x} J_L = 0 \]

が運動方程式で、その解は

\[ J_L(t, x) = J_{0L}(x + vt) \]

で書ける。

このように、\(J_{R(L)}\) は右（左）に形を変えずに伝搬する進行波に対応していることがわかる。これは、線形分散で一次元の場合特有の性質である。

カレント演算子の平面波展開

R成分について、次の形の平面波展開をしてみる。

\[ J_R(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{\sqrt{2\pi}} \tilde{J}_R(k) e^{ikx} \]

\(J_R\) はエルミートなため、\(\tilde{J}_R^\dagger(k) = \tilde{J}_R(-k)\) が課される 。

波数表示での交換関係を求めると

\[ [\tilde{J}_R(k), \tilde{J}_R(k')] = \frac{1}{2\pi} \int dx dy e^{-ikx - ik'y} [J_R(x), J_R(y)] = \hbar k \delta(k+k') \]

が簡単な計算でわかる。

ここで \(a_R(k) = \frac{\tilde{J}_R(k)}{\sqrt{\hbar k}}\) で演算子 \(a\)を定義すると

\[ [a_R(k), a_R^\dagger(k')] = \delta(k-k') \]

を満たすことがわかる。 これは調和振動子の交換関係に他ならない。 一見なにも問題が無いように思えるが、実はここで \(k\) の範囲に気をつけないといけない。 波数表示での\(J_R\)交換関係の右辺には \(k\)があるが、これが負になってしまうと、\(a_R\)の交換関係の右辺も負にならざるを得ない。すると、\([b, b^\dagger] = -1\) のような関係が生じるが、これを無理やり認めようとすると

\[ \langle 1 | 1 \rangle = \langle 0 | b b^\dagger | 0 \rangle = \langle 0 | (b^\dagger b - 1) | 0 \rangle = -1 \]

のように負ノルムが現れてしまう。 そのため、\(k<0\)は非物理的な自由度だと見做し、展開から省くことにする。

\[ \begin{aligned} J_R(0, x) &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{\sqrt{2\pi}} \tilde{J}_R(k) e^{ikx} \\ &= \int_{-\infty}^{0} \frac{dk}{\sqrt{2\pi}} \tilde{J}_R(k) e^{ikx} + \int_{0}^{\infty} \frac{dk}{\sqrt{2\pi}} \tilde{J}_R(k) e^{ikx} \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{dk}{\sqrt{2\pi}} \tilde{J}_R^\dagger(k) e^{-ikx} + \int_{0}^{\infty} \frac{dk}{\sqrt{2\pi}} \tilde{J}_R(k) e^{ikx} \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty dk \sqrt{\hbar k} \left[ a_R(k) e^{ikx} + a_R^\dagger(k) e^{-ikx} \right] \end{aligned} \]

L成分の場合は

\[ J_L(0, x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^\infty dk \sqrt{\hbar k} \left[ a_L(k) e^{-ikx} + a_L^\dagger(k) e^{ikx} \right] \]

なお、明らかに \(a_R, a_L\) は可換である 。

基礎変数とカレント演算子

\[ J_R = \frac{1}{\sqrt{2Z_0}} \partial_x \Phi - \sqrt{\frac{Z_0}{2}} Q \]

\[ J_L = \frac{1}{\sqrt{2Z_0}} \partial_x \Phi + \sqrt{\frac{Z_0}{2}} Q \]

\[ \Rightarrow \partial_x \Phi = \sqrt{\frac{Z_0}{2}} (J_L + J_R) \]

\[ \Rightarrow Q = \frac{1}{\sqrt{2Z_0}} (J_L - J_R) \]

有限サイズ系の場合

長さ\(L\)の周期境界条件

\[ J_{L,R}(t, x+L) = J_{L,R}(t, x) \]

を課す。

\[ J_R(t, x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \tilde{J}_{R,n}(t) e^{ik_n x} \quad \left(k_n = \frac{2\pi n}{L}\right) \]

逆変換は

\[ \tilde{J}_{R,n}(t) = \frac{1}{L} \int_0^L dx e^{-ik_n x} J_R(t, x) \]

\(J_R(x)\) はエルミートなので \(\tilde{J}_{R,n}^\dagger = \tilde{J}_{R,-n}\) が課される 。

整理すると

\[ [a_{R,n}, a_{R,m}^\dagger] = \frac{1}{L\hbar \sqrt{k_n k_m}} \int dx dy e^{-i(k_n x - k_m y)} [J_R(x), J_R(y)] \]

\[ = \dots = \delta_{n,m} \]\[ J_R(t, x) = J_{R,0} + \sum_{n>0} \sqrt{\frac{\hbar k_n}{L}} \left[ a_{R,n} e^{ik_n x} + a_{R,n}^\dagger e^{-ik_n x} \right] \]

と展開できる。

有限サイズの場合には、波数が0のモード（ゼロモード）が展開に明確に現れる。 このモードは、全磁束や全電荷と関係していて、孤立系ではこれらはともに保存量である。（詳しくは省略）

この有限サイズ系のモデルは回路量子電磁力学における共振器の例になっている。 単一モードに着目して取り出したものがよく使われている。

静電容量結合

線路AとBが2本あり、その間にキャパシタ（容量 \(c_C\) ）による結合がある場合を考える。 その静電エネルギーは、キャパシタの両足の電位の差をVとして \(\frac{1}{2} c_C V^2\) である。

\(V_{A,B}(t, x) = \dot{\Phi}_{A,B} (t,x)\) であるため、この結合の寄与をLagrangianに加えると、正準運動量の定義が変更を受けることになる。

\(\dot \Phi_A, \dot \Phi_B\) を含む運動エネルギー（密度）を書きだすと

\[ T = \frac{c_A \dot{\Phi}_A^2}{2} + \frac{c_B \dot{\Phi}_B^2}{2} + \frac{c_C (\dot{\Phi}_A - \dot{\Phi}_B)^2}{2} \]

\[ = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \dot{\Phi}_A & \dot{\Phi}_B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_A + c_C & -c_C \\ -c_C & c_B + c_C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\Phi}_A \\ \dot{\Phi}_B \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{\Phi}}^T \mathbf{C} \dot{\mathbf{\Phi}} \]

正準運動量は \(\begin{pmatrix} Q_A \\ Q_B \end{pmatrix} = \mathbf{Q} = \mathbf{C} \dot{\mathbf{\Phi}}\) なので

\[ T = \frac{1}{2} \mathbf{Q}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{Q} \]

\[ H = \mathbf{Q}^T \dot{\mathbf{\Phi}} - (T - U) = \frac{1}{2} \mathbf{Q}^T \mathbf{C}^{-1} \mathbf{Q} + U \]

\[ = \frac{1}{2\Delta} \left[ (c_B + c_C) Q_A^2 + (C_A + c_C) Q_B^2 + 2 c_C Q_A Q_B \right] + U \]

\(c_C \ll c_A, c_B\) の場合に \( [\dots ]\) 部は

\[ \frac{Q_A^2}{2 c_A} + \frac{Q_B^2}{2 c_B} + \frac{c_C}{c_A c_B} Q_A Q_B \]

となる。

このように静電的な結合では、電荷の演算子の積が現れる。

伝送線路と共振器からなる模型

ここまでの結果を使うと、伝送線路が共振器と\(x=0\)で静電的に結合している状況は、次のように模型で表現できる。

\[ H = \int dx \frac{1}{4Z_0} \left[ (\partial_x \Phi)^2 + Z_0^2 Q^2 \right] + \left( \frac{Q_c^2}{2C_0} + \frac{\Phi_c^2}{2L} \right) + g Q(0) Q_c \]

なお、共振器の自由度については

\[ \hat{\Phi}_c = \sqrt{\frac{\hbar Z_c}{2}} (b + b^\dagger), \quad Q_c = -i \sqrt{\frac{\hbar}{2Z_c}} (b - b^\dagger) \]

で演算子\(b\)を定義すると、\(b\)は調和振動子の代数を満たし、ハミルトニアンの中で

\[ \frac{\hbar}{\sqrt{LC}} (b^\dagger b + \frac{1}{2}) \]

と（伝送線路との結合項を除いて）対角的になる。